。计算机的“程序表”规定了计算机对于符号与状态的每一种可能组合将要做出的反应。
举两数相加一例，将会非常清楚地阐明这些抽象概念。假定我们以“一元”的记号写出一些数字，其中整数 n用一串 n个*号来表示，在n个相连的单元内每单元一个*号。据此，**号表示2，*****表示5。一元记号的优点是只有一种符号*号，不需要10个不同的数字来表示任何已知的正整数。若要2加5，只要把**号和*****号打印在纸带上，它们之间有一个空白单元，这样两串*号就可以区别开。
带有图解的程序表说明了计算机如何进行两数相加的运算。但在讨论程序表的特点之前，先要概括地描述加法的过程。聪明的计算机先找到两个数之间的空白单元，在空白单元打印一个* 号（那么在纸带上留有一串的8个* 号），而后继续下去，找到一串* 号的结束单元，并擦除掉最后一个* 号。这样，在纸带上就留有*******号，按一元记号，它就是7，即2加5的和。
现在让我们再来看程序表。计算机的状态通常列在最左边的一栏内。在这个程序表内，共有3个状态，编号分别为0、1和2。符号（和表示空白单元的词“空白”）通常横列在程序表的上方。在这个表内只有一个符号*号。
计算机在0状态中开始，按照惯例，扫描纸带上最左边的符号（换句话说，扫描**号中的第一个*号）。程序表描述了计算机如何运算状态0与符号*号的组合。计算机让符号留下不变，扫描到右边的下一个单元，并停留在状态0中，那么，计算机如何运算这个单元？由于计算机仍然处在状态0中，而且单元中的符号还是一个*号，计算机仍按前面所述进行运算：只让符号*号留下，扫描到右边的下一个单元，并停留在状态0中。
现在换到空白单元。程序表中状态0与空白符号的组合说明了计算机是如何进行运算的。它打印了一个*号，再扫描到右边的下一个单元，即进入状态1。这时，这个单元中还是一个*号，而状态1和符号*号的组合就描述出计算机的行为：扫描到右边的下一个单元，并停留在状态1中。这个步骤要重复4次，因为每次都是一个*号继续出现。当计算机扫描到一串5个*号结束处的空白单元时，它会回到左边的一个单元，并进入状态2。这个单元中有一个*号，计算机会擦掉它。然后计算机停机，处于一种完成状态。这种方法的作用是：相同的程序表都可以生成任何两数的和，无论数的大小如何，只要以一元的记号写出，两数间有一个空白单元，就能算出。在状态0，计算机只是扫描第一个数的每个单元，一直扫描到空白单元，再在其上打印一个*号。在状态1，它则是扫描第二个数的每个单元，直到空白单元，再回扫，并停留在最后一个*号的单元上。在状态2，它只是擦掉这个*号。于是，纸带上就立即有了答案。
这种加法是众所周知的有限数法，因为程序表包括数量有限的状态和数量有限的符号。然而这种有限数法却可以生成范围无限的数。图灵计算机要运算可以想象的任何数之和，纸带的长度就必须是无限的，也就是说，如果纸带仅有1，000个单元长，而它就不能运算大于1，000的数。
在图灵计算机用这种方法完成两数相加的运算时，纸带将只有答案，而没有原来的两个数。如果有人试图编写一个带有原来两数的程序表，那么他一开始就应该想到，图灵计算机需要“计算”在两串*号中的8个*号。然而令人感到意外，图灵计算机不能进行这种计算。设想它扫描第一个*号时，就会跳入状态1。每当它扫描另一个*号时，就会跳入下一个状态。这样下去，在它扫描第五个*号后，计算机就已处在状态5中，扫描第二十三个*号之后，就处在状态23中。看来用这种方法，图灵计算机似乎能够计算任何*号的数；即当它扫描完所有*号时，它的状态数就相应于它的*号数。但是，这种方法是行不通的。你知道这是为什么吗？
问题就在于这个方法不是有限数法。这种方法需要数目无限的状态。比方说，如果计算机仅有5个状态，那么它就不能计算多于5个的*号，因此它将被限制在和为5或小于5的数之内。如果它有50，000个状态，它也不能计算多于50，000个的*号。换句话说，对于有限数状态n，它不能计算多于n的*号。这种方法行不通，是因为我们所要寻找的是在任何情况下都可用于任何加法的方法。
如果允许数字状态是无限的（或者符号数是无限的），那么程序表就编写不出来。而要求编写出有限数字的程序表，按照惯例，需要用机械的方式。
现在需要探讨一个令人感兴趣的说法，即图灵计算机不必是一部机器，而是程序表（如果你愿意的话，可以叫它软件），那就是图灵计算机的定义。任何一个实体，它可以是一部计算机、一个人、一条美人鱼、一个游魂、或是克里姆林宫，只要它能够按照程序表进行运算，就是一部图灵计算机。如果你能够按照加法图表中的程序表在纸带上进行两数的加法运算，那么