被某个比P大的素数整除。相反，如果Q是素数的话，Q本身就是一个比P大的素数。两种可能性都意味着比最大素数还要大的素数的存在。这当然就意味着，“最大的素数”这概念是虚设的。但如果没有这样一个怪数，素数就一定是无限的。
长期以来，数学家们一直梦想着发现一种公式，运用这个公式代入从0到无穷大的n的整数值就可以得出所有素数。18世纪的大数学家列奥纳德·欧拉反复考虑用那个诱人的简单公式n2＋n＋41。如n＝0，该公式则得出素数41；如n＝1，得素数43；n＝2得素数47。的确，当n为0至39中连续的整数值时，欧拉公式得出的全是素数。但如n＝40时，这一公式突然不灵了。其得数1，681是41的平方。
欧拉公式
1963年，曾在洛斯阿拉莫斯从事早期原子弹研制性工作的卓越数学家斯坦尼斯劳·乌拉姆在一片纸上随意写出一串数字，它们是连续的整数，从1开始呈方形螺旋地向外扩展：
乌拉姆的小草笺
使他震惊的是，草笺中的素数——我已用线标了出来——都落在了对角纸上。乌拉姆受到这种偶然发现的鼓舞便与两个助手马克·韦尔斯和迈伦·斯坦一起研究从除了1之外的整数开始的方形螺线。从41到44的整数也构成了一个螺线。同样，素数也常常落在对角线上。从421至383这条长对角线与由欧拉的n2＋n＋41的公式所得出的素数是相对应的。
乌拉姆的大草笺
1963年，洛斯阿拉莫斯的马尼艾克二型主机储存了前9，000万个素数。“在洛斯阿拉莫斯我们也有一台第一流的图解计算设备，”韦尔斯回忆说，“因此我们对用计算机绘出素数图式感到异常激动。”马尼艾克二型为1，000万以下的所有素数都绘出方形螺线图。果然，许多数都神奇地出现在对角线上。
欧拉公式n2＋n＋41在n为大数值时证明有令人震惊之效。马尼艾克二型计算出，在1，00O万以下的所有素数中，该公式可得出占总素数的47．5％。而当n值较低时，该公式工作得更有成效。当n值小于2，398时，得素数的机会一半对一半。而当n值小于100时，该公式得出86个素数，合成数只有14个。
乌拉姆和助手们还发现了其他几乎与欧拉公式同样有效的生成素数的公式。公式4n2＋170n＋1，847计算1，000万以下素数的成功率为46．6％，并得出760个欧拉公式所不能推出的素数。公式4n2＋4n＋59的成功率为43．7％，同时得出大约1，500个不能由其他两个公式推出的素数。
最奇怪的是，虽然这些公式都有很高的成功率，虽然在方形螺线中存在明显的对角线规则，但数理论家已证明与欧拉公式相仿的公式无一能生成全部的素数，或除素数外别无他物。但这一证明并未阻止浪漫主义者寻找素数的模式。
在100以内的数字中有25个素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89和97。这些连续的素数（以及随后无限多的素数）之间的间隔并无明显的范式可循。由于2是惟一的偶数素数，2与3也是惟一一对只相差1个的素数。
相差2的素数——被称为孪生素数——又如何呢？在前25个素数中有8对孪生素数：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61）和（71，73）。大约150年来，数字理论家就推测过，孪生素数就像素数本身一样是无限多的，但还没有人能证明这一点。在1966年，研究取得进展，那时，中国数学家陈景润证明：在只相隔两个的无穷对数字中：第一个数为素数，第二个数也是素数或是两个素数的积。（为两个素数之积的数被称为“殆素数”，这一叫法既表明了数学家们不可抑制的乐观主义，又证明了真正素数的发现之难。）
乐观主义的另一表现是：陈先生证明了哥德巴赫猜想的较无力那一面的说法：每个“充分大”的偶数是一个素数和一个殆素数之和。“充分大”是素数文献中对“我知道我的证明对比某数Q大的所有数都有效，但我不知道Q是多少”的婉语。虽然短语“充分大”一词模糊不清，数学家们仍然认为陈的证明是过去30年来对素数理论意义最为重大的发现。
人们对素数之间离得多开比素数如何相互靠近知道得更多一些。的确，很容易证明存在任意长的非素数的连续数列。让n！表示1到n的所有整数的乘积。这样，n！就可以被从2到n的每个整数整除。试想一下n!＋2，n！＋3，n！＋4……n！＋n的连续数列。这时，数列中的第一项n！＋2则可被2整除；第二项n！＋3可被3整除；第三项n！+4可被4整除；等等。在这个数列中有n—1个数，没有一个是素数。通过任意选择n的大小，你可以得出你想要的无素数的连续整数数列。
但也