423-1)=…………2，663
21. 29，688 (29，689-1) =…………5，834
22. 29，940 (29，94l-l)=…………5，985
23. 211，212 (211，213-1)=…………6，751
24. 219，36 (219，937-1)=…………12，003
25. 221，700 (221，701-1)=…………13，066
26. 223，208 (223，209-1)=…………13，973
27. 244，496 (244，497-1)=…………26，790
28. 286，242 (286，243-1)=…………51，924
29. 2132，048 (2132，049-1)=…………79，502
30. 2216，090 (2216，091-1)=…………130，100
这4个数是由公式2n-1（2n-1）当n=2，3，5和7时推出来的。算式如下：
n＝2，21（22-1）=2（3）=6
n=3，22（23-1）＝4（7）＝28
n＝5，24（25-1）＝16（31）＝496
n＝7，26（27-1）＝64（127）＝8，128
欧几里得看出，在全部的4个算式中，2n-1是素数（3，7，31和127）。这种发现促使他证明一个重要的定理：当2n-1为素数时，那么公式2n-1（2n-1）则得出偶数完全数。
欧几里得的证明使得完全数理论有了一个兴旺的开端。但由于其他数学家的短视，这一理论进展缓慢。许多思想精微的人自以为他们看出了数字模式，其实这些数字并不存在。如果他们看得更远一点，他们就会发现这种模式是虚幻的。
古人观察到，前4个完全数都是以6和8结尾的。进一步说，最后一个阿拉伯数字似乎是6，8，6，8地交替出现。所以有人推测，完全数最后一个阿拉伯数总会是6或8，并且它们会继续交替出现。第五个完全数——古代人并不知道——的确是以6结尾的。但第六个完全数也是以6结尾的，这就打破了交替出现的模式。然而，关于最后一个阿拉伯数字总是6或8这一点，古人还是正确的。今天，数学家可以研究30个完全数——比古人多出7倍以上——但他们还必须找出尾数为6和8的模式。
古人还观察到，第一个完全数有一位数字，第二位完全数有2位数字，第三个有3位数，第四个有4位数。所以他们推测，第五个完全数会有5位数。在欧几里得故去17个世纪后发现了第五个完全数，它赫然具有8位数：33，550，336。并且位数继续迅速增多，以下3个完全数分别为8，589，869，056；137，438，691，328；和2，305，843，008，139，952，128。
欧几里得证明了一旦2n-1是素数，那么2n-1（2n-1）就会得出一个完全数，但他并没有说n的哪一个整数值会使2n-1成为素数。由于使2n-1为素数的前4个n值为前4个素数（2，3，5，7），可能有人推测：如n为素数，2n-1也会是素数。那么，让我们来试试看第五个素数：11。如n=11，2n-1则为2，047，而2，047并非素数（它是23和89的积）。真实情况是：要使2n-1为素数，n必须是素数，而n为素数并不就意味着2n-1是素数。事实上，对于n的大多数素数值来说，2n-1并不是素数。
由2n-1一式得出的数列现在称作默塞纳数列，马林·默塞纳是17世纪的巴黎僧侣，他在尽僧职之余抽空进行数论的研究。根据欧几里得的公式，每发现一个新的默塞纳素数，就会自动出现一个完全数。 1644年，默塞纳自己说，213-1，217-1和219-1这3个默塞纳数是素数（8，191；131，071和524，287）。这位僧侣还声称267-1这个巨大的默塞纳数会是位素数。在250多年的时间里，没有人对这一大胆的声言提出疑问。
1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授弗兰克·纳尔逊·科尔提交了一篇慎重的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家埃里克·坦普·贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267。然后小心地减去1，得出21位的庞大数字：
147，573，952，589，676，412，927。
他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算：
193，707，721×761，838，257，287
两次计算结果相同。默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神